時間計算機

從一個時刻往後或往前推幾小時幾分、量兩個時刻之間隔了多久、把一個班扣掉休息之後換成工時，或者在 7:30 與 7.5 之間互換。時鐘是逢六十進位，而你桌上其他每一個工具都是逢十進位 —— 這就是為什麼時間的算術特別容易錯，而且錯了之後特別難發現。這裡每一個答案都會把進位的那一步寫出來。

時鐘逢六十進位，你手上其他每一個工具都逢十進位

一整天會用到的計數方式，幾乎全部是逢十進位：試算表是、手機上的計算機是、薪資單最下面那個數字也是。只有時鐘不是 —— 分鐘那一欄從 0 數到 59 就把小時往前推一格。時間的算術會出錯，原因就只有這一個差別；而它出錯的方式很安靜，因為它吐回來的是一個外觀完全正常的數，而不是一句錯誤訊息。

把 7:45 加 6:30 打進一般計算機，它會把冒號當成小數點、用逢十進位算，然後給你 13.75。同樣兩個數字讀成幾時幾分，答案是 14:15，往後多了整整四十分鐘。這兩個數字單獨看都不像是錯的。一份月報表這樣加二十次，總數就已經差掉超過一個工作天。

可靠的做法是盡早離開六十進位這種寫法：先把兩段時數都換成單純的分鐘，在那裡完成加減（因為每一欄又都逢十進位了），最後一步才換回幾時幾分。這一頁的每一個答案都是這樣算的，而且每一步都印出來 —— 進位發生在哪裡是你可以自己看的東西，不是要你相信的東西。

午夜是一個模數，不是一條邊界

一個時刻是「1440 分鐘這個循環裡的某個位置」，不是時間軸上的一個點。所以 23:30 加兩小時得到的是 01:30 而不是 25:30；也所以那個答案本身是不完整的 —— 01:30 沒有告訴你它屬於哪一天。任何真的要照著做的事情（一個班、一班飛機、一段維護時間）都必須把日期跟時間一起帶著，而把日期丟掉是排程出錯最高產的來源之一。

同一個循環也讓同一個瞬間有兩種寫法。24:00 與 00:00 位置相同、歸屬的日期不同，而時刻表是刻意在用這個區別的：列在 24:00 的班次收掉的是前一個營運日，列在 00:00 的班次開的是下一個。把兩者當成可以互換的軟體，會生出剛好差一天的錯誤，而且那種錯誤很容易通過測試 —— 它一天只在 1440 分鐘裡的那一分鐘出現。

當下班時刻落在一天之中比上班時刻早的位置時，這一頁會假設這一對時刻是跨夜的，並且補回一整天，因為大夜班長的就是這個樣子。它會明講自己這樣做了，而不是偷偷做掉；同時它也會印出「如果兩個時刻其實是同一天」的間隔是多少。那個數字是一段負的時間，而那幾乎一定是兩格填反了的簽名。

十進位工時是第三種寫法，而 7.30 三種都不是

薪資系統、請款單與專案工時表通常要的是十進位小時，所以七小時三十分要寫成 7.5。小數點後面那幾位代表的是「一小時的幾分之幾」而不是分鐘，所以同一段長度的三種寫法 —— 7:30、7.5、7.30 —— 裡面有一對是同一件事，另一個是冒牌貨。第三種是把冒號當小數點讀出來的，它比另外兩個少十八分鐘。

換算結果只有在分鐘是六的倍數時，才會剛好停在一位小數，因為六分鐘正好是一小時的十分之一。12、18、24、30 換過去都很乾淨；45 變成 0.75；20 變成 0.333 循環 —— 這正是兩位小數的十進位工時表落不到每一分鐘上的原因。一小時的百分之一是三十六秒，所以一個存 7.33 的系統，跟一個存 7:20 的打卡紀錄，已經差了十二秒。

一筆看不出來，兩百筆就全部看得出來。薪資系統取到兩位小數、打卡系統存整數分鐘，兩邊每一個班會差幾秒，而差的方向取決於那一筆的數字本身。要決定哪一邊才是紀錄，是行政上的判斷不是算術上的判斷；但一個不知道這是兩種寫法的人，連這個判斷都做不出來。

先扣休息再除以 60，順序反過來就會多給八分鐘

一個 09:00 到 17:30、中間有一小時不給薪休息的班，不是拿十進位的數字照著感覺相減就好。整段都用分鐘做：時鐘上是 510 分鐘，扣掉 60，剩下 450，最後一步才除以 60 得到 7.5 小時。先除再減在這個例子裡剛好會得到一樣的答案，而只要休息不是整數小時，兩者就會立刻分家。

二十分鐘是最容易中招的那一個。先扣：510 減 20 剩 490 分鐘，也就是 8.1666 小時。先換算再扣：8.5 減 0.2 得到 8.3 —— 那個 0.2 描述的是「一小時的兩成」而不是二十分鐘，結果多給了八分鐘。這個錯誤能通過複核，是因為 0.2 看起來就是一個非常合理的「二十」的寫法。

四捨五入是同一個問題的另一半。每一個班先進位到最接近的十五分鐘再加總，跟先把精確分鐘加總、最後才進位一次，得到的月份數字不一樣，而且筆數越多差越大。這兩種算法沒有哪一種天生正確，它們只是兩條由制度訂下來的規則；當兩套系統跑出不一樣的月總數，元兇多半是這件事，而不是其中一邊的程式有問題。

台灣的出勤紀錄，法律要求記到分鐘

勞動基準法第三十條把口徑寫得很死：雇主應置備勞工出勤紀錄，並且逐日記載出勤情形「至分鐘為止」，這份紀錄要保存五年。也就是說，台灣的法定紀錄單位是分鐘 —— 不是十分之一小時，也不是四分之一小時。那兩種是薪資系統為了自己方便訂出來的口徑，法律沒有要求任何人接受它們。

這件事在對帳的時候會變成真問題。打卡機記的是分鐘，薪資系統存的是兩位小數的十進位小時，於是每一筆都可能差幾秒到幾十秒；月底加總之後的落差，看起來就像有人少算了工時。要講清楚哪一邊才是紀錄，前提是知道那是兩種不同的寫法，而不是同一個數字的兩種顯示方式。

另一個常被略過的細節是休息。勞基法第三十五條規定勞工繼續工作四小時至少要有三十分鐘休息，而那段休息通常不計入工時。所以「九點到六點」這種講法本身沒有回答「這個班算幾小時」—— 中間要扣的是三十分鐘還是一小時，是一個必須另外講清楚的數字。這一頁把它放在自己的欄位裡，就是為了讓它不會被默默省略掉。

台灣沒有日光節約時間，但你的班表可能有

台灣其實實施過日光節約時間，而且不只一次：戰後到一九六一年、一九七四到一九七五年，以及一九七九年。一九八〇年起就沒有再實施過，所以在台灣長大的人對「一年要調兩次時鐘」幾乎沒有實感。這也正是為什麼跨國排班、跨國會議與國際航班的時間在這裡特別容易被算錯 —— 錯的不是算術，是一個沒有人想到要放進去的前提。

歐美多數地區每年春天把時鐘往前撥一小時、秋天再撥回來。春天那一夜，二十二點到隔天六點的班只有七小時；秋天同一個班有九小時。過程中每一個時鐘顯示的都是對的，變的是那一夜本身的長度。一場固定在台北時間的週會，換算到對方那邊的當地時間，一年會自己前後移動兩次，而移動的那兩週正是全年最容易錯過會議的兩週。

面對這種日子，可靠的做法是改用「經過了多少時間」而不是「從幾點到幾點」。系統如果記下某個流程跑了四百八十分鐘，這個數字撐得過時鐘調整；如果只記下它一點半開始、三點結束，那段長度就取決於一個根本不在紀錄裡的資訊。這一頁刻意不套用任何時區，因為要套用就得先猜你指的是哪一個地方 —— 而猜錯會給你一個安靜地差一小時的答案。

整數的算術，以及一個沒有東西可以送出去的計算機

用分鐘表示的時間是整數，而這種大小的整數，瀏覽器存得下也存得精確。這裡沒有會累積的誤差，沒有一長串多出來的尾數，也沒有任何需要先收斂到十二位有效數字才敢顯示的東西。整頁唯一出現小數的地方，是最後把分鐘除成十進位小時的那一步 —— 那是顯示用的最後一步，不會再往下餵給任何計算。

一個計算機另一半會出錯的地方是「它在哪裡執行」。兩個時刻看起來沒什麼，直到你注意到人們拿它來查什麼：這個班是不是被記少了、兼職一共幾小時、某個人幾點離開公司。那是就業相關的資料，而那正是一個線上工時服務最有商業理由留下來的東西。這一頁的算術是幾 KB 的 JavaScript，隨著頁面一次送到你手上就結束了；那些時刻從頭到尾沒有被包進任何一筆請求。

要驗證這件事，花的時間大概跟讀完這一段差不多。把瀏覽器裡那張網路請求清單打開擺在旁邊，然後動上面任何一格。答案、算式與說明都會跟著動，那張面板卻連一列新的紀錄都長不出來 —— 一個時刻沒有地方可以被送去。載入完成之後把網路線拔掉，照樣算得出答案；那與其說是功能，不如說是另一端空無一物的必然後果。