百分比計算機

先選你真正想問的是哪一種問題，填兩個數字，答案會連同算出它的每一步一起出現。整段運算都在你自己的裝置上跑完，資料一步都沒有離開過 —— 這麼小的一段算術，本來就沒有理由跑到別人的機器上。

一個詞底下藏著五個不同的問題

有人說「幫我算一下百分比」的時候，可能指的是五件不同的事，而它們的答案彼此不能互換。第一種是大多數人腦中的畫面：某個量的一部分。200 的 15% 是 30。第二種方向相反 —— 你手上有兩個量，想知道其中一個佔另一個多少。200 裡的 25 是 12.5%。

第三種是隨時間的變化。原本 40、現在 50，值得講的是那個上升的 25%。第四種是套用一個你已經知道的變化：1200 加上 20% 之後是多少。第五種幾乎沒有人會明講出名字 —— 兩個數字之間的差距，而且其中沒有一個算是「原本的那個」。用這種算法，30 與 50 相差 50%，那跟「30 成長 66.7% 變成 50」不是同一句話。

大多數計算機把其中三種放在同一頁、擺成三組沒有標題的輸入框，然後讓你自己判斷該用哪一組。錯誤通常就發生在那一步，不是發生在算術上。所以這一頁在你打任何數字之前，先把每一種問法的完整問句寫出來，並且在結果旁邊給你一句填好數字的完整句子，讓你可以核對「這個答案回答的是不是我想問的那題」。

跌下去再漲回來，需要的百分比比較大

100 加 50% 是 150。從 150 減 50% 會落在 75，不是回到 100。這兩個動作看起來對稱，其實不是，因為第二次是拿一個比較大的數當基準。寫成通式：先漲 p%、再跌 p%，最後會停在原本的 1 −(p/100)²，而那個值永遠小於 1。

同樣的不對稱也出現在報告裡。一個數字從 100 掉到 80，是跌 20%；要回到 100 則是漲 25%。兩句話描述的是同樣那 20 個單位的移動，而且兩句都正確，因為變化百分比的分母永遠是「你從哪裡出發」。引用其中一個數字、卻讓人以為是另一個，是百分比最常見的誤導方式，而且做這件事的人一句謊都不必說。

這一頁在每一次算變化的時候，都會把反方向的數字一併列出來，就是為了讓這個不對稱看得見，而不是要你自己記得。跌掉 50% 要漲 100% 才回得來；跌掉 90% 要漲 900%。

百分點不是百分比 —— 台灣新聞最常混用的一組詞

利率從 2% 升到 3%，是上升「1 個百分點」，同時也是上升「50%」。這兩句都是對同一件事的真話，只是用了兩個不同的單位；而把其中一個換成另一個，這件事的規模會差 50 倍。

規則講出來其實很簡單：兩個百分比相減，得到的單位是百分點；兩個百分比相除，得到的才是百分比。民調支持度從 40% 變成 50%，是增加 10 個百分點，也是支持度成長 25%。兩個數字都值得知道，但它們回答的是不同的問題。

這不是罕見的咬文嚼字。台灣的財經與政治新聞裡，利率、失業率、民調、稅率級距的報導幾乎每週都在混用這兩個詞，而混用的方向幾乎一律是把事情講得比較大。看到不確定的說法時，把兩個數字相減，看看得到的是不是報導引用的那個數 —— 一次就分得出來。

打八折不是減八成：中文的折扣說法方向是反過來的

中文的「折」講的是「付多少」，英文的 off 講的是「少付多少」，兩者方向相反。「打八折」是付原價的 80%，也就是折抵 20%，對應的英文是 20% off 而不是 80% off。習慣之後不會弄錯，但在對照國外購物網站、或是把中文文案翻成英文的時候，這個方向翻轉每年都在製造真實的價差爭議。

折扣疊加則是另一件事，而且中英文都一樣會錯。「先打八折、結帳再打九折」不是打七二折那麼簡單的相加問題 —— 它確實是 0.8 × 0.9 = 0.72，也就是打七二折，但如果換成「折 20% 再折 10%」的說法，很多人會直覺算成折 30%，實際上只折了 28%。兩個折扣疊起來，永遠比它們相加來得少。

常見的商場說法也可以用同一把尺量：「買一送一」等於打五折；「第二件六折」是兩件總價 1.6 倍除以 2，等於打八折；「滿千送百」如果是折價券而不是現金折扣，實質折扣還要看那張券後來有沒有用掉。把每一種說法都換算成「乘以多少」，這些話術就會回到同一個平面上比較。

台灣的標價是含 5% 營業稅，所以稅額不能用乘的

台灣的零售標價與統一發票金額都是含稅價，這一點跟美國的稅外加不一樣，也是最常見的百分比算錯來源。一張 105 元的發票，裡面的營業稅並不是 105 × 5% = 5.25，而是先把含稅價還原：105 ÷ 1.05 = 100 是未稅金額，稅額就是剩下的 5 元。用乘的每次都會高估，而且稅率越高差越多。

為什麼會這樣：5% 這個百分比是加在「未稅金額」上的，不是加在含稅金額上。所以要反推回去只能用除的。同一個道理適用於所有「已經內含某個百分比」的價格 —— 含服務費的餐飲帳單、含手續費的成交金額、含運費的到手價，全部都是除以 1 + 費率，不是乘以費率。

這一頁的「A 是 B 的百分之幾」可以直接處理你已經同時知道兩個金額的情況；而「加減百分比」那一種問法底下的「要還原回去需要」那一行，講的正是同一件事的另一面 —— 加了 20% 之後要回到原點，需要的不是減 20%，是減 16.67%。

算術本身會在哪裡安靜地出錯

電腦用二進位存小數，而十進位小數大多換不成長度有限的二進位，就像三分之一在十進位裡寫不完一樣。這就是為什麼直接算某個價格的 10%，有時候會跑出一長串小數、最後多一個 4。誤差小於一千兆分之一，對答案完全沒有影響，但出現在一個宣稱「把算式攤開給你看」的頁面上就很刺眼 —— 所以這裡的結果在顯示之前會先收斂到 12 位有效數字：遠比任何真實問題需要的精度還多，也遠低於那串雜訊出現的位置。

四捨五入是另一個陷阱。一張明細如果每一行先四捨五入再加總，跟先加總再四捨五入一次，得到的數字會不一樣。這就是為什麼稅務機關會明文規定要用哪一種，而不是交給軟體自己決定。兩種做法在抽象上沒有誰比較正確，它們是兩種不同的口徑；兩個系統對不起來的時候，通常是這個原因而不是程式有 bug。

最後一種是真正的精度流失。超過大約九千兆的數字，瀏覽器已經沒辦法精確表示，超過之後最後幾位就變成近似值。這個門檻遠遠超出任何人真的會拿來問百分比的數字，但你如果真的打了那麼大的數，這一頁會直接說出來，而不是把一個近似值當成事實給你。

計算機沒有理由需要一台伺服器

這個站上的每一個工具都跑在你自己的裝置上。對檔案轉換來說，那是一句有份量的隱私主張 —— 你的合約、你的護照掃描檔，真的一次都沒有離開過這台機器。但對一個百分比計算機來說，同一句話的誠實版本要小得多，而且應該直接講清楚，不必包裝：兩個數字加一個百分比，本身並不敏感。

值得講的是另外一半。把「15」和「200」送到一台伺服器、等一趟來回、再收到「30」，對一次乘法來說是荒謬的機械量 —— 而這是相當多計算機網站到今天還在做的事，因為一次會碰到伺服器的頁面載入，就是一次可以被記錄、被再行銷、被變現的頁面載入。這裡的算術是幾行 JavaScript，跟頁面一起下載完就在你手上：把網路拔掉照樣算得出來，答案在你打完字之前就出現，而且不必排隊。

想驗證的話大約十秒就夠：把瀏覽器的網路檢視器開著放在旁邊，然後改掉其中一個數字。請求清單的長度一條都不會增加，因為另一端根本沒有一個可以被請求的地方。